Bài tích phân có cận không xác định

By -
Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ \{ $\pm 1$ } thỏa mãn $f'(x)=\dfrac{1}{x^2 -1}$. Biết rằng $f(-3)+f(3)=0$ và $f(\dfrac{-1}{2})+f(\dfrac{1}{2})=2$. Giá trị $T=f(-2)+f(0)+f(4)$ là bao nhiêu

Lời giải.
hãy chú ý rằng: $\int_{-3}^{-2}f'(x)dx=f(-2)-f(-3)$
Do vậy, ta có: $f(-2)-f(-3)=\int_{-3}^{-2}\frac{1}{x^2-1}dx=\frac{5}{24}$ (1)
Tương tự, ta cũng có: $f(0) - f(\dfrac{-1}{2})=\dfrac{1}{3} $ (2)
$f(\dfrac{1}{2}) - f(0)= \dfrac{1}{3}$ (3)
$f(4)-f(3)=\dfrac{-7}{120}$ (4)

Lấy (1) cộng (4) ta được $f(-2) +f(4)-(f(-3)+f(3))=\dfrac{3}{20}$
Lấy (2) trừ với (3) ta được $2f(0)-(f(\dfrac{-1}{2})+f(\dfrac{1}{2}))=0$, tức là:
\[2f(0)-2=0\]
nói cách khác $f(0) = 1$
Vậy, $f(-2)+f(0)+f(4)=\dfrac{23}{20}$
---------------------------------
Câu hỏi đặt ra trong bài này là: tại sao chúng ta không tính luôn tích phân
\[\int_{-3}^{3}f'(x)dx=f(3)-f(-3)\]
để rồi từ đó, kết hợp với $f(-3)+f(3)=0$ giải được luôn $f(-3)$, $f(3)$ ?

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Nguyên hàm đặc biệt từ một số đạo hàm hàm hợp quen thuộc

By -
Image
Về một lớp những bài toán sử dụng các kết quả đạo hàm để tạo ra những nguyên hàm hàm ẩn thú vị. Thầy cô cũng có thể sử dụng kĩ thuật này để tạo ra một số bài tập nguyên hàm hay, đòi hỏi khả năng phân tích suy đoán kết hợp kiến thức cũ của học sinh. Nhân dịp có một học sinh hỏi bài (trích từ đề thi Trung học phổ thông Quốc gia 2018), tính mình thích tổng quát những trường hợp lại với nhau, nên chia sẻ đến các bạn một lớp các ví dụ minh họa cho ý tưởng này, mời bạn đọc và góp ý nhé. Ví dụ 1 . ( Đề THPT QG 2018 ). Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( 2 \right)=\frac{-2}{9}$ và ${f}'\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Hãy tính $f\left( 1 \right)$. Từ đề thi, bài viết muốn làm nội dung này một cách tổng hợp. Để làm được các bài tập như bài toán trên chúng ta cần nhớ lại một số kết quả đạo hàm hàm hợp $u\left( x \right)$ như sau: ${{\left( \ln u \right)}^{\prime }}=\frac{u'}{u}\Rightarrow \int{\frac{{{u}'}}{{{u}}}\text{d...
Read more

Kĩ thuật đổi biến thú vị với nguyên hàm lớp 12

By -
Image
Ta đã biết, một phân thức khi lấy đạo hàm sẽ tạo ra bình phương ở mẫu số, áp dụng quy tắc này một lớp các bài nguyên hàm (tích phân) được “đẻ” ra bằng cách tạo bình phương ở mẫu số để người giải phải đổi biến dạng phân thức. Tìm hiểu thêm điều này, bài viết sẽ mô tả một số ví dụ về cách đổi biến khá lạ này, dùng cho học sinh giải bài cũng như giáo viên ra đề thêm phần “hack não” Ví dụ 1 . Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( 3x+1 \right)}}}=a\sqrt{2}+b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$.  Tính giá trị biểu thức: $S=\frac{a-4b}{2a-b}$ A. $\frac{5}{3}$                                B. $\frac{3}{5}$                                ...
Read more

ĐẾM - XÁC SUẤT CẠNH NHAU / KHÔNG CẠNH NHAU

By -
Trong quá trình làm bài toán về tổ hợp, ta thường hay gặp những tình huống yêu cầu đề bài các đối tượng được sắp xếp đứng kề nhau hoặc không kề nhau. Trong trường hợp đó ta có thể sử dụng phương pháp tạo vách ngăn. Độc giả có thể xem ví dụ sau: Ví dụ : Xếp ngẫu nhiên 11 chữ cái trong cụm từ "HỌC SINH GIỎI" thành một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái I đứng cạnh nhau . --------- Lời giải . Chú ý rằng 11 chữ cái trong cụm từ này có 2 chữ H, 3 chữ I, và 2 chữ O Số phần tử không gian mẫu tất nhiên là: $n(\Omega)= \frac{11!}{2!.3!.2!}=1663200 $ (bởi vì các chữ cái H, I, O có sự lặp lại, đổi chỗ không tạo ra cách mới) Gọi A là biến cố cần tính xác suất, ta cần tìm số phần tử của A. Cách 1 . ( Trực tiếp ).  Do có ít nhất hai chữ cái I đứng cạnh nhau nên ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1 . Có đúng 2 chữ I đứng cạnh nhau Trường hợp 1.1 . Hai chữ I này đứng cạnh nhau và đứng vị trí 1-2. Sắp xếp chữ I tiếp theo có 8 vị trí (không thể ở vị trí số ...
Read more