CÂU VẬN DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH-ĐỀ THI GIỮA KÌ I TRƯỜNG THTH ĐHSP
Luận bàn 1 câu về
đề thi Giữa học kì I 2020–2021
trường Trung học Thực hành Đại học Sư Phạm
Câu 22 mã đề 121. Công ty cấp thoát nước dự
định xây dựng cho mỗi hộ gia đình một bể chứa nước sạch dạng hình hộp chữ nhật
( có nắp đậy) có tổng diện tích các mặt bằng 36 (mét vuông) và độ dài đường
chéo bằng 6 (mét). Bể nước đó có thể chứa được tối đa V (mét khối). Giá trị V ở
trong khoảng nào dưới đây?
A. (11; 12) B. (10; 11) C.
(22; 23) D. (12; 13).
Ai cũng biết các phương án tác giả cho vào từng khoảng
là để học sinh không thể “dò ngược” đáp án được.
Nhưng cái hay nằm ở chỗ này nè:
“Biểu thức điều kiện đối xứng
nhưng min – max đạt được dấu bằng lại không đối xứng”,
và có thể người làm dễ dính bẫy dấu bằng khi dồn biến.
Trước hết chúng ta đề xuất một số phương án giải như
sau rồi mình bàn tiếp nha:
Lời giải:
Gọi $x,y,z$ là số đo chiều rộng, chiều dài, chiều cao thỏa
mãn bài toán, thế thì ta có ngay:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{6}^{2}}=36$ (1) ( do đường chéo hình hộp chữ nhật là 6
mà)
$2\left( xy+yz+zx
\right)=36$ (2)
hay $xy+yz+zx=18$ (do tổng
diện tích các mặt bằng 36)
Mặt khác, $xyz=V$ (3)
Cộng (1) và (2) ta
có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2zx=72$, tức là: ${{\left( x+y+z
\right)}^{2}}=72$
Suy ra: $x+y+z=6\sqrt{2}$ (4)
Cách
1. Dồn biến kết hợp
phương pháp làm trội
Không mất tính tổng
quát, ta có thể giả sử $0<x\le y$ và $ x\le z$ (tức $x$ là số bé nhất)
Lúc đó: $y+z\ge 2x$
hay $6\sqrt{2}-x\ge 2x$, suy ra $x\le 2\sqrt{2}$,
nghĩa là ta đánh giá
được $0<x\le 2\sqrt{2}$
Ta có: $yz=18-xy-xz=18-x\left(
y+z \right)=18-x\left( 6\sqrt{2}-x \right)={{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18$
Nên $V=xyz=x\left(
{{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18 \right)={{x}^{3}}-6\sqrt{2}{{x}^{2}}+18x=f\left( x
\right)$
Việc bây giờ là khảo
sát hàm số $f\left( x \right)$ thôi
Ta có: ${f}'\left( x
\right)=3{{x}^{2}}-12\sqrt{2}x+18$, ${f}'\left( x \right)=0$ khi $x=\sqrt{2},x=3\sqrt{2}$.
Ta có bảng biến thiên sau:
Khi đó V đạt max là $8\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$.
Lúc này $y,z$ thỏa $y+z=5\sqrt{2}$
và $yz=8$, giải được $y=\sqrt{2},z=4\sqrt{2}$ hoặc ngược lại.
Chọn A.
Cách
2. Dồn biến kết hợp bất đẳng
thức phụ (Cauchy cho 2 số)
Tương tự như Cách 1.
Ta cũng đã có hàm số: $V={{x}^{3}}-6\sqrt{2}{{x}^{2}}+18x=f\left( x \right)$
Bây giờ ta đánh giá $x$.
Từ (2) ta có: $yz=18-xy-xz=18-x\left(
y+z \right)=18-x\left( 6\sqrt{2}-x \right)={{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18$
Mà: $yz\le {{\left(
\frac{y+z}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$
(bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm $y,z$)
Do vậy, ta có: ${{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18\le
\frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$, suy ra: $0<x\le 4\sqrt{2}$
Lúc này hàm số $V={{x}^{3}}-6\sqrt{2}{{x}^{2}}+18x=f\left(
x \right)$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Lúc đó, V đạt max khi
$x=\sqrt{2}$ hoặc $x=4\sqrt{2}$.
Theo phần đầu bài, từ (4), (2), (3) ta có hệ phương trình sau:
\[\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 \sqrt2 \\ xy+yz+zx=18\\ xyz=V \end{matrix}\right.\]
Thấy mấy cái đám đối
xứng “tổng- tích” này ta cũng thường hay nghĩ tới Vi-ét nhỉ.
Theo định lý Viet cho phương trình bậc 3 $x,y,z$ thỏa hệ trên là các nghiệm của phương trình bậc 3:
${{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t-V=0$
Tương đương
$\underbrace{{{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t}_{f\left( t \right)}=V$
Nên V đạt max tức là
đi tìm max của hàm số
$f\left(
t \right)={{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t$
Cho nên ta phải đi
đánh giá $t$ đã nè.
(chú ý rằng $t$ đóng
vai trò là một trong 3 thằng $x,y,z$ đó nha)
Từ (1) ta có: $yz=18-xy-xz=18-x\left(
y+z \right)=18-x\left( 6\sqrt{2}-x \right)$
Mà: $yz\le {{\left(
\frac{y+z}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$
Do vậy, ta có: $18-x\left(
6\sqrt{2}-x \right)\le \frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$, suy ra: $0\le
x\le 4\sqrt{2}$
Nghĩa là ta đã đánh
giá được $0\le t\le 4\sqrt{2}$
Tới đây coi như xong,
bây giờ khảo sát hàm số:
$f\left( t
\right)={{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t$ , với $t\in \left( 0;4\sqrt{2}
\right]$
${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12\sqrt{2}t+18$, giải ${f}'=0$, ta được $t=\sqrt{2},t=3\sqrt{2}$. Bảng biến thiên như sau:
Suy ra max của $f\left( t \right)$ là $8\sqrt{2}$, đạt tại $t=\sqrt{2},t=4\sqrt{2}$
Lúc này, nghĩa là chiều
dài, chiều rộng, chiều cao của nó là $\sqrt{2},4\sqrt{2},\sqrt{2}$ và các hoán
vị của nó.
–––––––––––
Lời bình.
Với các câu vận dụng cao tìm min–max như thế này, ý tưởng đưa về hàm số là quá
rõ ràng. Ngoài ra chúng ta còn tập tư duy thêm về.
–
Dồn biến
–
Điều quan trọng một số học sinh hay quên của
một bài min–max còn rất quan trọng ở chỗ đánh giá biến
–
Kiểm tra dấu bằng xảy ra thật chặt chẽ.
– Trong quá trình dồn biến, chúng ta có thể sử dụng phương pháp làm trội $\left( x\le y\le z \right)$, định lý Viet cho một số trường hợp đối xứng, bất đẳng thức phụ.
Bạn đọc có thêm bất kì cách nào khác hoặc ý tưởng nào thêm cứ góp ý tại đây nhé
Chúc các bạn thành công.
Comments
Post a Comment