Bài toán cực trị logarit

Nhân dịp có người trao đổi, mình đưa lên bài toán này cũng như có chút nhận xét cho các bạn khi gặp một số tình huống tương tự:
Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc $\left ( \dfrac{1}{4};1 \right )$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[P= log_{a}\left ( b-\frac{1}{4} \right )+ log_{b}\left ( c-\frac{1}{4} \right )+ log_{c}\left ( a-\frac{1}{4} \right )\]

-----------

Lời giải.

Do vai trò $a,b,c$ là như nhau, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng $a$ là số lớn nhất, nghĩa là ta có: $b\leqslant a$ và $c \leqslant a$.

Do đó ta có:

\[log_b{\left (c-\frac{1}{4} \right )}\geq log_a{\left (c-\frac{1}{4} \right )}\]

(do $a,b$ là các số bé hơn 1 nên hàm log nghịch biến)
Tương tự: \[log_c{\left (a-\frac{1}{4} \right )}\geq log_a{\left (a-\frac{1}{4} \right )}\]

Vậy:

\[P\geq log_a{\left (a-\frac{1}{4} \right )}+log_a{\left (b-\frac{1}{4} \right )}+log_a{\left (c-\frac{1}{4} \right )}\]

\[= log_a{\left ((a-\frac{1}{4}).(b-\frac{1}{4}).(c-\frac{1}{4})\right )}\]
mà \[(a-\frac{1}{4}).(b-\frac{1}{4}).(c-\frac{1}{4})\leq (a-\frac{1}{4}).(a-\frac{1}{4}).(a-\frac{1}{4}) = (a- \dfrac{1}{4})^3\] nên
\[log_a{\left [(a-\frac{1}{4}).(b-\frac{1}{4}).(c-\frac{1}{4}) \right ]}\geq log_a{(a-\frac{1}{4})^3} = 3log_a{(a-\dfrac{1}{4})}\]
(chú ý tính nghịch biến)
Lúc này chỉ cần khảo sát hàm số $y=3log_x{\left (x-\dfrac{1}{4} \right )}, x\in \left (\dfrac{1}{4};1 \right )$ nữa là xong.
Khảo sát hàm này ta có kết quả hàm đạt min là $6$ khi $x= \dfrac{1}{2}$
Vậy, $P \geq 6$ tại $a=b=c=\dfrac{1}{2}$

Chú ý: Ta cũng có thể dùng Máy tính cầm tay, chức năng TABLE để khảo sát hàm ở trên cho nhanh.

Lời bình:

Như vậy, với một số bài toán cực trị, có tính đối xứng, mà lại nhiều biến, khi không biết làm gì thì ta cho luôn các biến đó bằng nhau để thu gọn biểu thức cần tìm GTNN, GTLN sau đó dùng máy tính cầm tay để tìm min, max, điều này đôi khi thật hữu ích trong một số bài trắc nghiệm.
Thân chào.