Bài toán sử dụng cấp số nhân

By -
Có một bài toán tính lương như sau:
Bạn Nam sau khi ra trường đi làm hưởng lương là 3 triệu đồng / tháng. Biết rằng, cứ sau 3 năm lương của bạn sẽ được tăng 33% so với trước đó. Vậy hỏi, sau 20 năm đi làm, tổng số tiền bạn Nam có được là bao nhiêu?

Lời giải.
33% = 0,33
Lương 3 triệu / tháng, nghĩa là một năm sẽ thu được $12.3 = 36$ triệu.
Trong kỳ 1: (3 năm đầu tiên), tổng số tiền bạn Nam có sẽ là: $ u_1 = 36.3 = 108$ triệu đồng.
Trong kỳ 2: (3 năm tiếp theo), tổng số tiền là: $u_2 = 108 + 108.0,33 = 108. (1+0,33) = 108.1,33$ triệu đồng.
Trong kỳ 3: (3 năm tiếp theo), tổng số tiền là $u_3 = (108.1,33) + (108.1,33).0,33 = 108.1,33.(1+0,33) = 108.1,33^2$
...
Như vậy, ta thấy ngay $u_1, u_2, u_3, ...$ tạo thành một cấp số nhân với công bội $q=1,33, u_1 = 108$.
Bây giờ, 20 năm tức bằng = 18 năm + 2 năm = 6.3 +2 = 6 kỳ + 2 năm của kỳ 7.
Tất nhiên tổng thu nhập của kì 7, theo công thức số hạng tổng quát của CSN thì sẽ là: $u_7 = u_1. q^6 = 108.1,33^6$, thế thì mỗi năm của kì 7 thu là: $\dfrac{u_7}{3}$, suy ra 2 năm của kì 7 sẽ có tổng số tiền là: $2.\dfrac{u_7}{3}$
Vậy, tổng số tiền Nam có được sau 20 năm là:
\[u_1+u_2+u_3+...+u_6+\frac{2}{3}u_7=\frac{u_1.q^{n-1}}{q-1}+\frac{2}{3}u_7=\frac{108.1,33^5}{3}+\frac{2}{3}.108.10^6\]
---------------------------
Lời bình:
Bài này vẫn có thể áp dụng trong một số bài tập về hàm mũ, lũy thừa ở lớp 12.
Chú ý rằng: Với một số tiền ban đầu là $A$, tăng lũy tiên là $r$ sau $n$ kỳ, thì số tiền sau $n$ kỳ sẽ là: $T=A(1+r)^n$

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Nguyên hàm đặc biệt từ một số đạo hàm hàm hợp quen thuộc

By -
Image
Về một lớp những bài toán sử dụng các kết quả đạo hàm để tạo ra những nguyên hàm hàm ẩn thú vị. Thầy cô cũng có thể sử dụng kĩ thuật này để tạo ra một số bài tập nguyên hàm hay, đòi hỏi khả năng phân tích suy đoán kết hợp kiến thức cũ của học sinh. Nhân dịp có một học sinh hỏi bài (trích từ đề thi Trung học phổ thông Quốc gia 2018), tính mình thích tổng quát những trường hợp lại với nhau, nên chia sẻ đến các bạn một lớp các ví dụ minh họa cho ý tưởng này, mời bạn đọc và góp ý nhé. Ví dụ 1 . ( Đề THPT QG 2018 ). Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( 2 \right)=\frac{-2}{9}$ và ${f}'\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Hãy tính $f\left( 1 \right)$. Từ đề thi, bài viết muốn làm nội dung này một cách tổng hợp. Để làm được các bài tập như bài toán trên chúng ta cần nhớ lại một số kết quả đạo hàm hàm hợp $u\left( x \right)$ như sau: ${{\left( \ln u \right)}^{\prime }}=\frac{u'}{u}\Rightarrow \int{\frac{{{u}'}}{{{u}}}\text{d...
Read more

Kĩ thuật đổi biến thú vị với nguyên hàm lớp 12

By -
Image
Ta đã biết, một phân thức khi lấy đạo hàm sẽ tạo ra bình phương ở mẫu số, áp dụng quy tắc này một lớp các bài nguyên hàm (tích phân) được “đẻ” ra bằng cách tạo bình phương ở mẫu số để người giải phải đổi biến dạng phân thức. Tìm hiểu thêm điều này, bài viết sẽ mô tả một số ví dụ về cách đổi biến khá lạ này, dùng cho học sinh giải bài cũng như giáo viên ra đề thêm phần “hack não” Ví dụ 1 . Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( 3x+1 \right)}}}=a\sqrt{2}+b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$.  Tính giá trị biểu thức: $S=\frac{a-4b}{2a-b}$ A. $\frac{5}{3}$                                B. $\frac{3}{5}$                                ...
Read more

ĐẾM - XÁC SUẤT CẠNH NHAU / KHÔNG CẠNH NHAU

By -
Trong quá trình làm bài toán về tổ hợp, ta thường hay gặp những tình huống yêu cầu đề bài các đối tượng được sắp xếp đứng kề nhau hoặc không kề nhau. Trong trường hợp đó ta có thể sử dụng phương pháp tạo vách ngăn. Độc giả có thể xem ví dụ sau: Ví dụ : Xếp ngẫu nhiên 11 chữ cái trong cụm từ "HỌC SINH GIỎI" thành một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái I đứng cạnh nhau . --------- Lời giải . Chú ý rằng 11 chữ cái trong cụm từ này có 2 chữ H, 3 chữ I, và 2 chữ O Số phần tử không gian mẫu tất nhiên là: $n(\Omega)= \frac{11!}{2!.3!.2!}=1663200 $ (bởi vì các chữ cái H, I, O có sự lặp lại, đổi chỗ không tạo ra cách mới) Gọi A là biến cố cần tính xác suất, ta cần tìm số phần tử của A. Cách 1 . ( Trực tiếp ).  Do có ít nhất hai chữ cái I đứng cạnh nhau nên ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1 . Có đúng 2 chữ I đứng cạnh nhau Trường hợp 1.1 . Hai chữ I này đứng cạnh nhau và đứng vị trí 1-2. Sắp xếp chữ I tiếp theo có 8 vị trí (không thể ở vị trí số ...
Read more