Kĩ thuật đổi biến thú vị với nguyên hàm lớp 12

Ta đã biết, một phân thức khi lấy đạo hàm sẽ tạo ra bình phương ở mẫu số, áp dụng quy tắc này một lớp các bài nguyên hàm (tích phân) được “đẻ” ra bằng cách tạo bình phương ở mẫu số để người giải phải đổi biến dạng phân thức.

Tìm hiểu thêm điều này, bài viết sẽ mô tả một số ví dụ về cách đổi biến khá lạ này, dùng cho học sinh giải bài cũng như giáo viên ra đề thêm phần “hack não”

Ví dụ 1.

Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( 3x+1 \right)}}}=a\sqrt{2}+b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. 
Tính giá trị biểu thức: $S=\frac{a-4b}{2a-b}$

A. $\frac{5}{3}$                                B. $\frac{3}{5}$                                     C. $\frac{3}{2}$                                D. $\frac{2}{3}$

Hướng dẫn giải.

Trước hết ta thấy rằng:

$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( 3x+1 \right)}}}$$=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{4}}\frac{3x+1}{x+1}}}}$

$=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}\sqrt{\frac{3x+1}{x+1}}}}$ (mục đích để tạo ra mẫu bình phương)

Đặt $t=\sqrt{\frac{3x+1}{x+1}}\Rightarrow {{t}^{2}}=\frac{3x+1}{x+1}\Rightarrow 2tdt=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx$

Đổi cận $x=0,t=1$ và $x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}$

Khi đó $I=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\frac{tdt}{t}}=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{dt}=\left. t \right|_{1}^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

Do đó $a=1,b=-1\Rightarrow S=\frac{5}{3}$. Chọn phương án A.

Lời bình: Tới đây, ta đã biết việc đưa ${{\left( x+1 \right)}^{2}}$ vào mẫu mục đích chính là hỗ trợ cho việc đặt ẩn với phân thức $\frac{3x+1}{x+1}$, điều này lại càng dễ nhận ra khi ${{\left( x+1 \right)}^{3}}$ nằm trong căn bậc hai, chỉ cần thêm tí xiếu được ${{\left( x+1 \right)}^{4}}$ là cho ra khỏi căn liền được ngay.

Ta sẽ tiếp tục với Ví dụ tiếp theo:

Ví dụ 2. Cho tích phân $K=\int_{1}^{e}{\frac{1-\ln x}{9{{x}^{2}}-{{\ln }^{2}}x}dx}=a\ln \frac{be+c}{be+d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ và $a<0$.
Hãy tính giá trị $S=-a+b+c+d$

A. $\frac{-1}{6}$               B. $\frac{1}{6}$              C. $\frac{19}{6}$                  D. $\frac{-19}{6}$

Hướng dẫn.

Dựa vào đề bài, dễ thấy rằng mẫu có thể phân tích thành nhân tử $9{{x}^{2}}-{{\ln }^{2}}x=\left( 3x-\ln x \right)\left( 3x+\ln x \right)$ nếu bằng phương pháp hệ số bất định để phân tích tử số theo nhân tử này thì khá là khó khăn đấy  (đại khái là như thế này: $\frac{?}{3x-\ln x}+\frac{?}{3x+\ln x}$ bạn đọc cứ thử để trải nghiệm nhé)

Do vậy, ta có thể nghĩ tới ý tưởng, tạo mẫu bình phương và đổi biến với phân thức như sau:

Trước hết:

$K=\int_{1}^{e}{\frac{1-\ln x}{9{{x}^{2}}-{{\ln }^{2}}x}dx}=\int_{1}^{e}{\frac{1-\ln x}{\left( 3x-\ln x \right)\left( 3x+\ln x \right)}dx}$$=\int_{1}^{e}{\frac{1-\ln x}{{{\left( 3x+\ln x \right)}^{2}}.\frac{3x-\ln x}{3x+\ln x}}dx}$

Bây giờ, đặt $t=\frac{3x-\ln x}{3x+\ln x}\Rightarrow dt=\frac{6\ln x-6}{{{\left( 3x+\ln x \right)}^{2}}}dx$ hay $dt=-6\frac{\left( 1-\ln x \right)}{{{\left( 3x+\ln x \right)}^{2}}}dx$

Đổi cận, $x=1\Rightarrow t=1$, và $x=e\Rightarrow t=\frac{3e-1}{3e+1}$ . Lúc đó:

$K=\frac{-1}{6}\int_{1}^{\frac{3e-1}{3e+1}}{\frac{dt}{t}}=\frac{-1}{6}\ln \frac{3e-1}{3e+1}$

Như vậy, ta có: $a=-\frac{1}{6}<0,\,\,b=3,\,\,\,c=-1,d=1$ là hợp lý, và kết quả đó: $S=\frac{19}{6}$, chọn C.

Thay lời kết

Tận dụng kĩ thuật này, giáo viên có thể thiết kế những bài nguyên hàm khá hay khi kết hợp các hàm khác bản chất lại với nhau, chẳng hạn đa thức – logarit, đa thức – lượng giác, …kết thúc bài viết, tác giả mời bạn đọc thử sức với bài tập tương tự sau đây:

Phát triển:

Tính tích phân sau: $T=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x+x\sin x}{4{{x}^{2}}-{{\cos }^{2}}x}}dx$

Kết quả nguyên hàm sẽ là: $\frac{1}{4}\ln \left| \frac{2x-\cos x}{2x+\cos x} \right|+C$, còn việc thế cận thì quá tầm thường.