CÂU VẬN DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH-ĐỀ THI GIỮA KÌ I TRƯỜNG THTH ĐHSP

 

Luận bàn 1 câu về đề thi Giữa học kì I 2020–2021

trường Trung học Thực hành Đại học Sư Phạm

Câu 22 mã đề 121. Công ty cấp thoát nước dự định xây dựng cho mỗi hộ gia đình một bể chứa nước sạch dạng hình hộp chữ nhật ( có nắp đậy) có tổng diện tích các mặt bằng 36 (mét vuông) và độ dài đường chéo bằng 6 (mét). Bể nước đó có thể chứa được tối đa V (mét khối). Giá trị V ở trong khoảng nào dưới đây?

A. (11; 12)     B. (10; 11)     C. (22; 23)     D. (12; 13).

Ai cũng biết các phương án tác giả cho vào từng khoảng là để học sinh không thể “dò ngược” đáp án được.

Nhưng cái hay nằm ở chỗ này nè:

“Biểu thức điều kiện đối xứng nhưng min – max đạt được dấu bằng lại không đối xứng”, và có thể người làm dễ dính bẫy dấu bằng khi dồn biến.

Trước hết chúng ta đề xuất một số phương án giải như sau rồi mình bàn tiếp nha:

Lời giải:

Gọi $x,y,z$ là số đo chiều rộng, chiều dài, chiều cao thỏa mãn bài toán, thế thì ta có ngay:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{6}^{2}}=36$  (1) ( do đường chéo hình hộp chữ nhật là 6 mà)

$2\left( xy+yz+zx \right)=36$  (2) hay $xy+yz+zx=18$   (do tổng diện tích các mặt bằng 36)

Mặt khác, $xyz=V$ (3)

Cộng (1) và (2) ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2zx=72$, tức là: ${{\left( x+y+z \right)}^{2}}=72$

Suy ra: $x+y+z=6\sqrt{2}$  (4)

Cách 1. Dồn biến kết hợp phương pháp làm trội

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $0<x\le y$ và $ x\le z$ (tức $x$ là số bé nhất)

Lúc đó: $y+z\ge 2x$ hay $6\sqrt{2}-x\ge 2x$, suy ra $x\le 2\sqrt{2}$,

nghĩa là ta đánh giá được $0<x\le 2\sqrt{2}$

Ta có: $yz=18-xy-xz=18-x\left( y+z \right)=18-x\left( 6\sqrt{2}-x \right)={{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18$

Nên $V=xyz=x\left( {{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18 \right)={{x}^{3}}-6\sqrt{2}{{x}^{2}}+18x=f\left( x \right)$

Việc bây giờ là khảo sát hàm số $f\left( x \right)$ thôi

Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12\sqrt{2}x+18$, ${f}'\left( x \right)=0$ khi $x=\sqrt{2},x=3\sqrt{2}$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Khi đó V đạt max là $8\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$.

Lúc này $y,z$ thỏa $y+z=5\sqrt{2}$ và $yz=8$, giải được $y=\sqrt{2},z=4\sqrt{2}$ hoặc ngược lại. Chọn A.

Cách 2. Dồn biến kết hợp bất đẳng thức phụ (Cauchy cho 2 số)

Tương tự như Cách 1. Ta cũng đã có hàm số: $V={{x}^{3}}-6\sqrt{2}{{x}^{2}}+18x=f\left( x \right)$

Bây giờ ta đánh giá $x$.

Từ (2) ta có: $yz=18-xy-xz=18-x\left( y+z \right)=18-x\left( 6\sqrt{2}-x \right)={{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18$

Mà: $yz\le {{\left( \frac{y+z}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$ (bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm $y,z$)

Do vậy, ta có: ${{x}^{2}}-6\sqrt{2}x+18\le \frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$, suy ra: $0<x\le 4\sqrt{2}$

Lúc này hàm số $V={{x}^{3}}-6\sqrt{2}{{x}^{2}}+18x=f\left( x \right)$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Lúc đó, V đạt max khi $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=4\sqrt{2}$.

 Cách 3. Dùng định lý Vi-ét kết hợp dồn biến

Theo phần đầu bài, từ (4), (2), (3) ta có hệ phương trình sau:

\[\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 \sqrt2 \\ xy+yz+zx=18\\ xyz=V \end{matrix}\right.\]

Thấy mấy cái đám đối xứng “tổng- tích” này ta cũng thường hay nghĩ tới Vi-ét nhỉ.

Theo định lý Viet cho phương trình bậc 3 $x,y,z$ thỏa hệ trên là các nghiệm của phương trình bậc 3:

${{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t-V=0$

Tương đương

$\underbrace{{{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t}_{f\left( t \right)}=V$

Nên V đạt max tức là đi tìm max của hàm số

$f\left( t \right)={{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t$

Cho nên ta phải đi đánh giá $t$ đã nè.

(chú ý rằng $t$ đóng vai trò là một trong 3 thằng $x,y,z$ đó nha)

Từ (1) ta có: $yz=18-xy-xz=18-x\left( y+z \right)=18-x\left( 6\sqrt{2}-x \right)$

Mà: $yz\le {{\left( \frac{y+z}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$

Do vậy, ta có: $18-x\left( 6\sqrt{2}-x \right)\le \frac{{{\left( 6\sqrt{2~}-x \right)}^{2}}}{4}$, suy ra: $0\le x\le 4\sqrt{2}$

Nghĩa là ta đã đánh giá được $0\le t\le 4\sqrt{2}$

Tới đây coi như xong, bây giờ khảo sát hàm số:
$f\left( t \right)={{t}^{3}}-6\sqrt{2}{{t}^{2}}+18t$ , với $t\in \left( 0;4\sqrt{2} \right]$

${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12\sqrt{2}t+18$, giải ${f}'=0$, ta được $t=\sqrt{2},t=3\sqrt{2}$. Bảng biến thiên như sau:

Suy ra max của $f\left( t \right)$ là $8\sqrt{2}$, đạt tại $t=\sqrt{2},t=4\sqrt{2}$

Lúc này, nghĩa là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của nó là $\sqrt{2},4\sqrt{2},\sqrt{2}$ và các hoán vị của nó.

–––––––––––

Lời bình. Với các câu vận dụng cao tìm min–max như thế này, ý tưởng đưa về hàm số là quá rõ ràng. Ngoài ra chúng ta còn tập tư duy thêm về.

–        Dồn biến

–        Điều quan trọng một số học sinh hay quên của một bài min–max còn rất quan trọng ở chỗ đánh giá biến

–        Kiểm tra dấu bằng xảy ra thật chặt chẽ.

–        Trong quá trình dồn biến, chúng ta có thể sử dụng phương pháp làm trội $\left( x\le y\le z \right)$, định lý Viet cho một số trường hợp đối xứng, bất đẳng thức phụ.

Bạn đọc có thêm bất kì cách nào khác hoặc ý tưởng nào thêm cứ góp ý tại đây nhé

Chúc các bạn thành công.