Bài toán diện tích tam giác nhỏ nhất Oxyz trong đề thi HK2 một số trường 2020-2021
Hai câu này nhìn chung thành một vấn đề:
Trong không gian $Oxyz$, cho 2
điểm $A,B$ và mặt phẳng $P$. Tìm điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho diện
tích tam giác $ABC$ là nhỏ nhất.
----
Chúng ta điểm lại 2 đề đó ở đây nhé:
1. Đề HK2- Trần Khai Nguyên 2020-2021
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$,
cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z - 12 = 0$ và
hai điểm $A\left(
{1;1;3} \right)$, $B\left( {2;1;4} \right)$, tập hợp những điểm $C \in \left( P
\right)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích nhỏ nhất là
A. \[\left\{\begin{matrix} x& =&t \\ y&= & -\dfrac{8}{9}\\ z&= & \dfrac{-50}{9}+t \end{matrix}\right.\]
B. \[\left\{\begin{matrix} x& =&-\dfrac{5}{4}+t \\ y&= & -\dfrac{5}{4}\\ z&= & t \end{matrix}\right.\].
C. Đường tròn $\left( C \right)$ tâm
$I\left(
{\frac{3}{2};1;\frac{7}{2}} \right)$, bán kính $R = \sqrt 2 $.
D. Đường tròn $\left( C \right)$ tâm
$A\left(
{1;1;3} \right)$, bán kính $R = \sqrt 2 $.
2. Đề HK2-Thực hành Sài Gòn 2020-2021
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng
$(P):x-y+2=0$, và hai điểm $A(1;2;3)$, $B(1;0;1)$. Điểm $C(a;b;-2)$ thuộc mặt
phẳng $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích nhỏ nhất. Tính $a+b$
A. -3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
---------
Lời
giải và bình luận
Trước hết ta xét bài toán tổng quát, cho hai điểm $A,B$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Tìm điểm $C$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Nhận xét rằng:
nếu $AB$ cắt mặt phẳng $(P)$ hoặc $AB
\subset \left( P \right)$ thì bài toán kết thúc vì lúc đó ${S_{ABC\,\min }} = 0$ lúc $A,B,C$ thẳng hàng. (trương hợp $AB$ cắt $(P)$
thì $C$ chính là giao điểm của $AB$ và $\left(
P \right)$)
Xét trường hợp thứ 2 là $AB$ song song $\left( P \right)$
Ta có: ${S_{ABC}} =
\frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right)$, mà $AB$ cố định nên ${S_{ABC}}$ min khi $d\left( {C,AB} \right)$ min.
Khi xét các khoảng cách từ C đến AB, nghĩa là C nằm
trong các mặt phẳng vuông góc với AB (và tất nhiên C đang nằm trong (P)).
Gọi $d$ là hình
chiếu vuông góc của $AB$ lên $\left( P \right)$ khi đó ta có thể chứng minh
được $d\left( {C,AB} \right)$ nhỏ nhất
khi $C$ nằm trên $d$. Thật vậy, xét điểm ${C_1}$ bất kì trên mặt phẳng $(P)$ gọi $C$
là hình chiếu vuông góc của ${C_1}$ lên $d$ , $H$
là hình chiếu của ${C_1}$ lên $AB$ ta có: $CH
\le {C_1}H$ (do tam giác $HC{C_1}$
vuông tại $C$) nên $d\left( {C,AB} \right) \le d\left( {{C_1},AB}
\right)$, và chú ý rằng, các điểm C trên $d$ có cùng khoảng cách tới $AB$ (do $AB$
song song $d$)
------
Chốt kết quả như sau:
Khi $C$ chạy
tùy ý trên $(P)$
- Nếu $AB$ cắt hoặc nằm trong $\left( P \right)$ thì \[S_{ABC}min=0\] cho nên người ta không hỏi điều này đâu, mà chắc chắn người ta cho $C$ chạy trên một đối tượng khác nữa, chẳng hạn với đề Thực hành Sài Gòn, người ta cho chạy trên mặt phẳng \z=-2 (thông qua giả thiết $C\left( {a;b; - 2} \right)$)
- Nếu $AB$ song
song $\left( P \right)$ thì ${S_{ABC}}\min $ khi $C$ thuộc hình chiếu $AB$ lên $\left(
P \right)$ và đây chính là đáp án cho đề HK2 Trần Khai Nguyên
----
Định hướng
giải:
1. Đề Thực hành Sài Gòn. Do $C\left( {a;b; - 2} \right) \in \left( P \right)
\Rightarrow a - b + 2 = 0 \Leftrightarrow b = a + 2$
Dùng công thức khoảng cách $d\left( {C,AB} \right)$ ta đưa về được biểu
thức một biến $a$, cụ thể nó là: $d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\sqrt {12{a^2} + 24a
+ 108} }}{{2\sqrt 2 }}$, đạt được nhỏ nhất khi a = - 1 ,
tức $b = 1$ và do đó $C\left( { - 1;1; - 2} \right)$
2. Đề Trần Khai Nguyên. Chú ý rằng \[\vec{AB}=(1;0;1)\], có $\overrightarrow {AB} .{\vec n_P} = 0$ nên $AB$ song song $\left( P \right)$ và do đó C thuộc hình chiếu của $AB$ lên $\left( P \right)$ mà bài toán hình chiếu thì bạn đọc đã quen rồi, nên ta có kết quả \[\left\{\begin{matrix} x& =&t \\ y&= & -\dfrac{8}{9}\\ z&= & \dfrac{-50}{9}+t \end{matrix}\right.\], và đến đây thì bạn biết chọn phương án nào rồi đấy.
Comments
Post a Comment