Bài toán sử dụng cấp số nhân

By -
Có một bài toán tính lương như sau:
Bạn Nam sau khi ra trường đi làm hưởng lương là 3 triệu đồng / tháng. Biết rằng, cứ sau 3 năm lương của bạn sẽ được tăng 33% so với trước đó. Vậy hỏi, sau 20 năm đi làm, tổng số tiền bạn Nam có được là bao nhiêu?

Lời giải.
33% = 0,33
Lương 3 triệu / tháng, nghĩa là một năm sẽ thu được $12.3 = 36$ triệu.
Trong kỳ 1: (3 năm đầu tiên), tổng số tiền bạn Nam có sẽ là: $ u_1 = 36.3 = 108$ triệu đồng.
Trong kỳ 2: (3 năm tiếp theo), tổng số tiền là: $u_2 = 108 + 108.0,33 = 108. (1+0,33) = 108.1,33$ triệu đồng.
Trong kỳ 3: (3 năm tiếp theo), tổng số tiền là $u_3 = (108.1,33) + (108.1,33).0,33 = 108.1,33.(1+0,33) = 108.1,33^2$
...
Như vậy, ta thấy ngay $u_1, u_2, u_3, ...$ tạo thành một cấp số nhân với công bội $q=1,33, u_1 = 108$.
Bây giờ, 20 năm tức bằng = 18 năm + 2 năm = 6.3 +2 = 6 kỳ + 2 năm của kỳ 7.
Tất nhiên tổng thu nhập của kì 7, theo công thức số hạng tổng quát của CSN thì sẽ là: $u_7 = u_1. q^6 = 108.1,33^6$, thế thì mỗi năm của kì 7 thu là: $\dfrac{u_7}{3}$, suy ra 2 năm của kì 7 sẽ có tổng số tiền là: $2.\dfrac{u_7}{3}$
Vậy, tổng số tiền Nam có được sau 20 năm là:
\[u_1+u_2+u_3+...+u_6+\frac{2}{3}u_7=\frac{u_1.q^{n-1}}{q-1}+\frac{2}{3}u_7=\frac{108.1,33^5}{3}+\frac{2}{3}.108.10^6\]
---------------------------
Lời bình:
Bài này vẫn có thể áp dụng trong một số bài tập về hàm mũ, lũy thừa ở lớp 12.
Chú ý rằng: Với một số tiền ban đầu là $A$, tăng lũy tiên là $r$ sau $n$ kỳ, thì số tiền sau $n$ kỳ sẽ là: $T=A(1+r)^n$

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

CÂU VẬN DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH-ĐỀ THI GIỮA KÌ I TRƯỜNG THTH ĐHSP

By -
Image
  Luận bàn 1 câu về đề thi Giữa học kì I 2020–2021 trường Trung học Thực hành Đại học Sư Phạm Câu 22 mã đề 121 . Công ty cấp thoát nước dự định xây dựng cho mỗi hộ gia đình một bể chứa nước sạch dạng hình hộp chữ nhật ( có nắp đậy) có tổng diện tích các mặt bằng 36 (mét vuông) và độ dài đường chéo bằng 6 (mét). Bể nước đó có thể chứa được tối đa V (mét khối). Giá trị V ở trong khoảng nào dưới đây? A. (11; 12)      B. (10; 11)      C. (22; 23)      D. (12; 13). Ai cũng biết các phương án tác giả cho vào từng khoảng là để học sinh không thể “dò ngược” đáp án được. Nhưng cái hay nằm ở chỗ này nè: “ Biểu thức điều kiện đối xứng nhưng min – max đạt được dấu bằng lại không đối xứng ”, và có thể người làm dễ dính bẫy dấu bằng khi dồn biến. Trước hết chúng ta đề xuất một số phương án giải như sau rồi mình bàn tiếp nha: Lời giải: Gọi $x,y,z$ là số đo chiều rộng, chiều dài, chiều cao thỏa mãn bài toán, thế thì ta có ngay: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{6}^{2}}=36$   (1) ( do
Read more

Nguyên hàm đặc biệt từ một số đạo hàm hàm hợp quen thuộc

By -
Image
Về một lớp những bài toán sử dụng các kết quả đạo hàm để tạo ra những nguyên hàm hàm ẩn thú vị. Thầy cô cũng có thể sử dụng kĩ thuật này để tạo ra một số bài tập nguyên hàm hay, đòi hỏi khả năng phân tích suy đoán kết hợp kiến thức cũ của học sinh. Nhân dịp có một học sinh hỏi bài (trích từ đề thi Trung học phổ thông Quốc gia 2018), tính mình thích tổng quát những trường hợp lại với nhau, nên chia sẻ đến các bạn một lớp các ví dụ minh họa cho ý tưởng này, mời bạn đọc và góp ý nhé. Ví dụ 1 . ( Đề THPT QG 2018 ). Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( 2 \right)=\frac{-2}{9}$ và ${f}'\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Hãy tính $f\left( 1 \right)$. Từ đề thi, bài viết muốn làm nội dung này một cách tổng hợp. Để làm được các bài tập như bài toán trên chúng ta cần nhớ lại một số kết quả đạo hàm hàm hợp $u\left( x \right)$ như sau: ${{\left( \ln u \right)}^{\prime }}=\frac{u'}{u}\Rightarrow \int{\frac{{{u}'}}{{{u}}}\text{d
Read more

Kĩ thuật đổi biến thú vị với nguyên hàm lớp 12

By -
Image
Ta đã biết, một phân thức khi lấy đạo hàm sẽ tạo ra bình phương ở mẫu số, áp dụng quy tắc này một lớp các bài nguyên hàm (tích phân) được “đẻ” ra bằng cách tạo bình phương ở mẫu số để người giải phải đổi biến dạng phân thức. Tìm hiểu thêm điều này, bài viết sẽ mô tả một số ví dụ về cách đổi biến khá lạ này, dùng cho học sinh giải bài cũng như giáo viên ra đề thêm phần “hack não” Ví dụ 1 . Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( 3x+1 \right)}}}=a\sqrt{2}+b$ với $a,b\in \mathbb{Q}$.  Tính giá trị biểu thức: $S=\frac{a-4b}{2a-b}$ A. $\frac{5}{3}$                                B. $\frac{3}{5}$                                     C. $\frac{3}{2}$                                D. $\frac{2}{3}$ Hướng dẫn giải. Trước hết ta thấy rằng: $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}\left( 3x+1 \right)}}}$$=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{4}}\frac{3x+1}{x+1}}}}$ $=\int\limits_{0}^{1
Read more