ĐẾM - XÁC SUẤT CẠNH NHAU / KHÔNG CẠNH NHAU

Trong quá trình làm bài toán về tổ hợp, ta thường hay gặp những tình huống yêu cầu đề bài các đối tượng được sắp xếp đứng kề nhau hoặc không kề nhau. Trong trường hợp đó ta có thể sử dụng phương pháp tạo vách ngăn.

Độc giả có thể xem ví dụ sau:

Ví dụ: Xếp ngẫu nhiên 11 chữ cái trong cụm từ "HỌC SINH GIỎI" thành một hàng ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái I đứng cạnh nhau.

---------

Lời giải.

Chú ý rằng 11 chữ cái trong cụm từ này có 2 chữ H, 3 chữ I, và 2 chữ O

Số phần tử không gian mẫu tất nhiên là: $n(\Omega)= \frac{11!}{2!.3!.2!}=1663200 $ (bởi vì các chữ cái H, I, O có sự lặp lại, đổi chỗ không tạo ra cách mới)

Gọi A là biến cố cần tính xác suất, ta cần tìm số phần tử của A.

Cách 1. (Trực tiếp). 

Do có ít nhất hai chữ cái I đứng cạnh nhau nên ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Có đúng 2 chữ I đứng cạnh nhau

Trường hợp 1.1. Hai chữ I này đứng cạnh nhau và đứng vị trí 1-2.

Sắp xếp chữ I tiếp theo có 8 vị trí (không thể ở vị trí số 3)

Sắp xếp các chữ cái còn lại có $\dfrac{8!}{2!.2!}$ (do H, O lặp lại 2 lần)

Do vậy trường hợp 1.1 có: $8.\dfrac{8!}{2!.2!}$ 

Trường hợp 1.2. Hai chữ I đứng cạnh nhau ở vị trí số 10-11, tương tự có $8.\dfrac{8!}{2!.2!}$

Trường hợp 1.3. Hai chữ I đứng cạnh nhau và ở các vị trí "bên trong" có 8 cách

Sắp xếp chữ I còn lại có 7 cách.

Sắp xếp các chữ còn lại có: $\frac{8!}{2!.2!}$

Vậy trường hợp này có $8.7. \frac{8!}{2!.2!}$ cách

Vậy, trường hợp 1 có: 725760 cách sắp xếp.

Trường hợp 2. Có đúng 3 chữ I đứng cạnh nhau

Sắp xếp 3 chữ I đứng cạnh nhau này vào 11 vị trí ta có $9$ cách.

Sắp xếp các chữ còn lại có $\dfrac{8!}{2!.2!}$ cách.

Vậy trường hợp 2 có: 90720 cách

Vậy, số phần tử của biến cố A là: $n(A)=816480$ cách.

Vậy, xác suất cần tìm là: $P(A)=\dfrac{816480}{1663200}=\dfrac{27}{55}$.
---------------
Chia trường hợp vậy đếm thấy có mệt không ???? 😏😏. Hãy tham khảo cách 2 trước khi quá nản nè:
---------------

Cách 2. (đếm bằng phần bù)

Phủ định của bài toán là ta cần đếm số cách sắp xếp sao cho không có 2 chữ I nào đứng cạnh nhau.

Trong trường hợp này chính là lúc mà ta cần dùng đến vách ngăn.

Cụ thể: Xếp 8 chữ cái còn lại (bỏ đi 3 chữ I) vào hàng ngang có $\dfrac{8!}{2!.2!}$ cách. Lúc này chúng tạo ra 9 chỗ trống.

Sắp xếp 3 chữ I này vào 9 chỗ trống ta có $C_{9}^3$ cách sắp xếp.

Suy ra, \[n(\bar{A})=846720\]

Do vậy, \[n(A)=n(\Omega)-n(\bar{A})=816480\]

Và kết quả xác suất, tất nhiên vẫn sẽ là: $P(A)=\dfrac{816480}{1663200}=\dfrac{27}{55}$

Lời bình:

Qua bài này, độc giả thấy rằng, việc sử dụng vách ngăn (Cách 2) cho các bài toán đếm không kề nhau là cách giúp chúng ta đếm đỡ vất vả hơn, đỡ phải chia trường hợp hơn. Rất mong góp ý của độc giả về các bài tập tương tự